Uma calculadora de derivadas em C puro

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Aug 11, 2016

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Código em C

Para explicar o algoritmo implementado pelo programa, as seguintes terminologias devem ser introduzidas:

Delimitador: Consiste em símbolos como + e - que quebram uma expressão em termos. Seu uso deve ser diferenciado do mesmo conjunto de símbolos usados para denotar o sinal de um valor (positivo e negativo). Na função 2x + -sinh(x), o + entre 2x e -sinh(x) é um delimitador, mas o - na frente de sinh(x) não é.

Termo: Consiste em expressões matemáticas separadas por delimitadores. Como descrito no exemplo anterior, 2x e -sinh(x) são classificados como termos.

Fronteira: Marca onde mais de uma expressão matemática é multiplicada ou dividida, podendo ser categorizada em dois tipos: explícita e implícita.

Fronteiras explícitas são denotadas com símbolos * e /, enquanto as implícitas não são necessariamente representadas por símbolos, mas ainda implicam multiplicações ou divisões (parênteses ou adjacência de expressões matemáticas de tipos distintos).

Uma fronteira pode ser usada para dividir um único termo em mais de um bloco, permitindo a aplicação das Regras de Divisão e Produto.

Função com fronteiras explícitas: 2 * sinh(x), x * cos(x) * 3 * sin(x)

Função com fronteiras implícitas: (2) (sinh(x)), x cos(x) (3 sin(x))

Bloco: Consiste em expressões matemáticas dentro de um único termo separadas por fronteiras. Por exemplo, a função x cos(x) (3 sin(x)) consiste em três blocos: x, cos(x) e (3 sin(x)).

Composta: Refere-se a uma função matemática cujo parâmetro contém outras funções matemáticas. Sua diferenciação envolve a aplicação da Regra da Cadeia. sin(cos(x + 3)) é um exemplo.

Componente: Consiste em expressões que devem ser diferenciadas individualmente para aplicar a Regra da Cadeia. Cada componente pode representar uma camada de uma função composta. Por exemplo, a função sin(cos(x + 3)) contém três componentes: sin(cos(x + 3)), cos(x + 3) e (x + 3).

A função matemática de entrada passa por uma série de recursões e é decomposta em múltiplos termos e subsequentemente em blocos.

Este procedimento é executado repetitivamente até que todos os componentes sejam apenas um único termo e também um único bloco.

Os componentes são então decompostos em componentes menores, ponto em que começam as operações matemáticas para diferenciar a função de entrada.

À medida que os componentes, agora em suas formas convertidas, emergem das chamadas recursivas, são reunidos com outros componentes aos quais estavam inicialmente associados.

Após o programa retornar com sucesso a derivada matemática da função de entrada, ele termina o processo atual e aguarda uma próxima entrada até o comando exit.

Entradas

Multiplicação: As multiplicações são geralmente representadas pelo símbolo *, mas também podem ser representadas implicitamente como expressões adjacentes parentetizadas ou não parentetizadas.

4x = 4 * x

x sin(x) = x * sin(x)

Divisão: As divisões são representadas pelo símbolo /. Um termo (ou um bloco se consistir de um termo mas tendo múltiplos blocos) que imediatamente segue / é identificado como divisor.

Sempre que uma entrada requer divisão por mais de um termo ou bloco, o divisor deve ser encapsulado em parênteses ou / deve preceder cada divisor.

e / x 234 = (234 * e) / x ≠ e / (234 x)

Exponenciação: As exponenciações são representadas pelo símbolo ^. A mesma regra da divisão ainda se aplica, onde apenas um termo (ou um bloco) imediatamente seguindo ^ é considerado um expoente.

lnx ^ 234 x = (lnx ^ 234) x ≠ lnx ^ (234 x)

Parâmetro de Função: Normalmente um parâmetro de função é encapsulado dentro de um par de parênteses que seguem o protótipo da função. Por exemplo, x + 234 é o parâmetro de sin(x + 234). É também possível escrever uma função sem os parênteses para encapsular explicitamente seu parâmetro - esta convenção apenas se aplica à função cujo parâmetro consiste de um único termo (ou um único bloco).

sinx + 234 = sin(x) + 234 ≠ sin(x + 234)

lnx + sinx = ln(x) + sin(x) ≠ ln(x + sin(x))

Precedência: A ordem regular de operações aritméticas PEMDAS se aplica. Algumas funções como sin 234 ^ 3, no entanto, são indefinidas por esta regra: sin(234) ^ 3 vs sin(234 ^ 3). As expressões são interpretadas da esquerda para a direita e, portanto, sin() tem precedência. É equivalente a sin(234) ^ 3.

Exemplo de Execução

Você pode baixar o código-fonte gratuitamente no repositório do github aqui:

calculadora-derivada

jancarauma • Updated Aug 11, 2025

O programa deve ser compilado com o comando make, que gera um arquivo executável chamado derivative. No Linux, por exemplo, pode rodar o programa no terminal com ./derivative:


$ make
$ ./derivative

Input: x + 234
Output: 1

Input: sin(cos(x + e)) + cosh(e) + tan(ln(e))
Output: cos(cos(x + e))(-sin(x + e))

Input: tan(pi) + log(xln(sin(x)))
Output: (1 / ((x ln(sin(x))) ln(10))) (ln(sin(x)) + x ((1 / sin(x)) cos(x)))

Input: e Output: fazem parte dos prompts do programa.

Note que a saída real do programa não inclui espaços em branco, portanto a saída do segundo exemplo apareceria no terminal como: cos(cos(x+e))(-sin(x+e)).

Os espaços em branco foram incluídos na documentação para focar mais na precisão da saída do programa do que em seu formato.

LIMITAÇÕES

Computação Numérica

Embora muito esforço seja feito para analisar a string de entrada e dividi-la em componentes diferenciáveis menores, o programa tem uma limitação na realização de computações aritméticas.

Por exemplo, se o programa receber uma entrada de (2 - 2) x, ele não interpreta o coeficiente de x como sendo 0, resultando na expressão inteira igual a 0.

Em vez disso, decompõe-a no produto de dois blocos (2 - 2) e x para aplicar a Regra do Produto. A saída da função seria (2 - 2), que é equivalente a 0.

O programa é capaz de realizar algumas aritméticas simples ao diferenciar funções polinomiais e de potência - pode analisar o expoente como um valor inteiro e subtrair por 1.

Mas isso ainda tem suas próprias limitações, pois não pode realizar esta operação se o valor contém valores decimais (.), multiplicação (*) ou divisão (/) - pode apenas analisar um inteiro.

O programa compromete concatenando - 1 ao final da string do expoente e ainda consegue produzir uma solução correta.

x ^ (2.3) produz 2.3 x ^ (2.3 - 1)

Função

O programa falha ao diferenciar uma função que contém a variável x tanto como base quanto como expoente, pois envolve diferenciação implícita.

Além disso, o mecanismo implementado para decompor uma função em componentes menores, com a natureza da exponenciação (no caso de funções compostas, as funções mais externas estão localizadas à direita, enquanto outras funções típicas são lidas da esquerda para a direita) requer que a composição de múltiplas funções de exponenciação seja explicitamente separada por parênteses.

Funções de entrada válidas:

x ^ sin(e)

(x ^ 2) ^ 3

Funções de entrada inválidas:

x ^ sin(x)

x ^ 2 ^ 3

LICENÇA

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