Adição de velocidades na Teoria da Relatividade Restrita
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Aug 2, 2016
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adicao-velocidades-relatividade-restrita
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Ciência
Física
Relatividade
summary
Pequeno excerto demonstrativo sobre a adição de velocidades na Teoria da Relatividade Restrita.
type
Post
Ao longo da história da física, diferentes teorias foram desenvolvidas para explicar o comportamento dos corpos em movimento. Dentre elas, destaca-se a transição entre a mecânica clássica, formulada por Galileu e Newton, e a moderna teoria da relatividade, proposta por Albert Einstein no início do século XX.
Essa nova estrutura conceitual revolucionou a compreensão do espaço e do tempo, sobretudo ao desafiar princípios tidos até então como absolutos. O ponto de ruptura entre as duas teorias ocorre especialmente no tratamento da luz e na concepção do tempo em referenciais distintos.
Para compreender essas diferenças, é essencial analisar os postulados fundamentais da Teoria da Relatividade Restrita e sua aplicação em exemplos concretos que evidenciam sua incompatibilidade com as previsões clássicas.
Para tanto, note que a teoria da Relatividade parte de dois postulados fundamentais, os quais, inclusive, um deles corrige alguns conceitos da teoria de Newton-Galileu. A exemplo, o postulado de que a velocidade da luz no vácuo tem o mesmo valor para todos os referenciais inerciais independentemente do movimento da fonte, o qual é, portanto, incoerente com a fórmula de adição das velocidades de Galileu e, consequentemente, incabível, neste caso, a possibilidade de "igualar" os resultados obtidos em ambas as teorias.
Para comprovar tal fato, basta considerar por exemplo o seguinte caso: sejam ∑′ e ∑ dois referenciais inerciais (vagão e solo, respectivamente). Além disso, digamos que o vagão se move com uma velocidade em relação ao solo, fixo. Suponha, inclusive, que um relógio imóvel no sistema ∑ registrou um determinado intervalo de tempo de a , isto é,
Para determinarmos o valor correspondente a , e de modo similar, o valor de correspondente a , devemos, pois, de acordo com a Teoria da Relatividade Restrita, utilizar as Transformações de Lorentz.
onde
Dessas expressões resulta
onde é o intervalo de tempo medido no sistema ∑′, enquanto que é o intervalo de tempo medido no sistema ∑. Portanto,
O resultado acima mostra que, no sistema ∑′, o tempo passa “mais lentamente” do que no sistema ∑.
E, antes de verificarmos a importância desse efeito, note que ele também pode ser ilustrado geometricamente. Considere a hipérbole no diagrama de Minkowski dada por
Seja o ponto de interseção dessa hipérbole com o eixo . Então:
- A distância ao longo do eixo temporal de até é no sistema ∑.
- O segmento , paralelo ao eixo , une eventos simultâneos em ∑.
- No sistema ∑′, o tempo decorrido entre e é a projeção temporal , que é menor que .
A partir desses resultados, podemos destacar dois pontos curiosos:
- A noção de tempo absoluto, tal como descrita por Newton em seu Principia (“Tempo absoluto, verdadeiro e matemático, por si só, e da sua própria natureza flui uniformemente…”), mostra-se incompatível com a Relatividade Restrita. O resultado matemático acima demonstra que o intervalo de tempo depende do estado de movimento do observador.
- Para velocidades cotidianas , o efeito de dilatação temporal é tão pequeno que escapa à precisão dos instrumentos mais comuns, razão pela qual o tempo newtoniano se mostra excelente aproximação em nosso dia a dia.
Portanto, exigir que as previsões newtonianas e relativísticas coincidam exatamente equivale a exigir que, por exemplo, seja exatamente igual a 3,14159265359 — um absurdo conceitual, pois um é número irracional e o outro, número racional.
Adição de Velocidades Não-Paralelas
Vejamos agora como calcular a resultante da composição de duas velocidades na Teoria da Relatividade Restrita, lembrando que ela repousa no modelo do espaço de Minkowski (pseudo-euclidiano).
Sejam ∑′′, ∑′ e ∑ três referenciais inerciais (observador, vagão e solo, respectivamente), cujos eixos são paralelos e em sucessão direta (configuração padrão). Denotemos por a velocidade de ∑′′ em relação a ∑′, e por a velocidade de ∑′ em relação a ∑. O objetivo é encontrar a velocidade resultante de ∑′′ em relação a ∑.
A partir da transformação de Lorentz inversa (configuração padrão), temos as diferenciais:
Dividindo cada diferencial espacial pela temporal, obtemos as componentes de :
Como , os ângulos (“azimutes”) nos planos perpendiculares são preservados. Se as velocidades residem no plano, escrevemos
e o módulo de resulta
Em particular, para (movimento colinear), obtemos
(!) Note que o resultado acima concorda com a expressão utilizada por Einstein para encontrar a velocidade do referido observador relativamente ao solo. ■
(!!) Este pequeno texto fora produzido como solução de um pequeno desafio proposto por um professor no mural do Departamento de Matemática, na UFRR, em 2015.