Demonstração formal do Teorema de Thévenin
date
Nov 6, 2016
slug
demonstracao-formal-do-teorema-de-thevenin
status
Published
tags
Ciência
Tecnologia
Engenharia Elétrica
summary
Demonstração formal do Teorema de Thévenin via análise nodal e determinantes. Fundamentos teóricos com base em Kirchhoff e Cramer.
type
Post
O Teorema de Thévenin é um dos pilares fundamentais da análise de circuitos elétricos lineares, permitindo a simplificação de sistemas complexos em representações equivalentes compostas por uma única fonte de tensão e uma resistência associada.
Neste artigo, propomos uma abordagem rigorosa para a demonstração do teorema, partindo da formulação nodal de circuitos planares constituídos por resistores, fontes de corrente e geradores de tensão.
Fazendo-se uso de algumas ferramentas da álgebra linear, como o Teorema de Laplace e a Regra de Cramer, conduzimos o leitor à dedução formal da tensão e da resistência equivalentes, estabelecendo as bases matemáticas que sustentam a validade universal da representação de Thévenin.
Primeiro, considere um circuito elétrico genérico como contendo nós, circuito este planar e composto apenas de resistores, geradores de tensão e fontes de corrente.
Dessa forma, aplicando-se a Lei de Kirchhoff para as correntes, tal circuito pode ser descrito através de equações nodais correspondentes, isto é,
Observe que o sistema linear acima pode ser reescrito na forma de multiplicações entre matrizes, ou seja,
A letra grega sigma maiúscula, , indica a condutância de um dado resistor e é dada como sendo o inverso da resistência desse dispositivo, ou seja, .
Assim sendo, note que o determinante da matriz completa do sistema linear dado acima pode ser obtido através do Teorema de Laplace, isto é, através da -ésima coluna tem-se:
onde é o determinante da matriz resultante quando elimina-se da matriz completa a linha e a coluna . Portanto, reordenando-se os termos e pondo em evidência a condutância , vem:
Agora, aplicando-se a Regra de Cramer, vem
ou seja, através do teorema de Laplace aplicado à -ésima coluna,
Observe que pode-se reescrever a equação anterior da seguinte forma:
isto é,
Sabendo-se que:
Portanto, substituindo-se as expressões de e em , obtém-se
Note que o termo
corresponde à tensão de circuito aberto mensurada entre os terminais do resistor (carga) ao removê-lo do circuito. Assim sendo, denominar-se-á tal grandeza por .
Dessa forma,
E multiplicando-se tanto o numerador quanto o denominador da expressão acima por , vem
Uma vez que a condutância da carga é dada por , tem-se
Observe que o termo possui unidade dada por . Portanto, denominando-se arbitrariamente
Tem-se que
que representa o potencial elétrico sobre o resistor segundo a equação do divisor de tensão. ■
Observe, inclusive, que o circuito genérico inicialmente idealizado é equivalente ao circuito de Thévenin descrito na figura acima, onde denota-se por tensão equivalente de Thévenin, , e por resistência equivalente de Thévenin, .
No entanto, é importante notar que o circuito equivalente de Thévenin foi calculado através de um dado -ésimo nó. Assim sendo, deve-se, pois, demonstrar que o circuito equivalente encontrado é único, isto é, existe apenas um único circuito equivalente de Thévenin.
Referências bibliográficas
- Dorf, R. C. e Svoboda, J. A. Introdução aos circuitos elétricos. LTC, Rio de Janeiro (2012).