Incompletude de Kurt Gödel

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Sep 30, 2024

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O menino de Brünn que olhou pro infinito

Kurt Friedrich Gödel nasceu em 28 de abril de 1906, em Brünn, no Império Austro-Húngaro (hoje Brno, República Tcheca), em uma família de classe média.

Foto: (a) Kurt Gödel (à direita) com seu irmão Rudolf por volta de 1908. Imagem cortesia de JW Dawson. (b) Kurt com seus pais e irmão mais velho por volta de 1910.

Desde jovem, Gödel demonstrou uma curiosidade excepcional e um talento incomum para as ciências exatas.

O que o levou a estudar matemática e física na Universidade de Viena, onde se destacou rapidamente entre seus colegas.

Foi durante esse período em Viena que ele desenvolveu suas primeiras ideias sobre lógica matemática, e resultou na formulação do célebres teoremas.

Em meio à sua dedicação acadêmica, Gödel também encontrou tempo para o romance, conhecendo Adelle Porkert, uma dançarina com quem se casaria em 1938.

E apesar das diferenças de classe e de personalidade, o relacionamento com sua amada Adelle foi uma constante na vida de Gödel, que encontrou nela seu porto seguro durante as muitas crises de saúde que enfrentou ao longo de sua vida.

Adele (esposa) e Kurt Gödel em Princeton (Fotografia: Courtesy of IAS Archive).

Hilbert sonhou com o monumento perfeito da matemática. Gödel mostrou as rachaduras

No final do século XIX, a filosofia do conhecimento era vista como algo praticamente consolidado.

E muitos estudiosos acreditavam que poucas descobertas realmente inovadoras restavam a ser feitas.

No Congresso Internacional de Matemática de Paris, em 1900, o brilhante David Hilbert, influenciado pelas ideias predominantes, apresentou uma lista de 23 problemas que ainda precisavam ser solucionados.

David Hilbert em 1932. Imagem cortesia dos Arquivos do “Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach”.

Acreditava que, uma vez resolvidos, poderiam completar o entendimento da matemática desenvolvida até então.

Hilbert tinha como objetivo mobilizar a comunidade científica para estabelecer uma base lógica definitiva para a matemática.

E, em grande parte, isso foi alcançado, com várias das questões por ele levantadas sendo resolvidas nos anos seguintes.

Mas em 1931, quando Hilbert se aposentava satisfeito, veio Gödel com seu trabalho “Sobre Proposições Indecidíveis” e explodiu o projeto.

O próprio von Neumann, que trabalhava na mesma linha de Hilbert, percebeu na hora o impacto.

Era como descobrir que a fundação desse grande edifício do conhecimento fora erguido sobre areia movediça.

E no meio das anotações da prova, uma única referência religiosa:

“Que Maria, Mãe de Deus, tenha piedade de mim!”.

Quase uma súplica, perdida no rigor lógico.

De repente, a matemática perdeu a possibilidade de provar a si mesma.

Alguns dos problemas de Hilbert talvez nem tivessem solução em passos matemáticos bem definidos.

Ao mesmo tempo, na física, a teoria quântica avançava.

E em 1927, Heisenberg já havia introduzido seu "Princípio da Incerteza", impondo um limite às observações diretas no mundo microscópico.

Esse foi outro golpe. Não dava mais para acreditar no sonho determinista do ciência.

Church e Turing, pouco depois, mostraram que não existe algoritmo universal capaz de decidir toda proposição.

Curiosamente, até 1963, nem Gödel nem outros matemáticos haviam exemplificado o conceito de indecidibilidade.

Foi então que o jovem Paul Cohen, de Stanford, desenvolveu uma técnica para testar proposições indecidíveis, demonstrando que a hipótese do continuum, uma das questões mais fundamentais da matemática, era de fato indecidível.

Nasceu, assim, uma nova era, onde problemas não solucionados se confundem com problemas não solucionáveis, e não há mecanismo efetivo conhecido que permita distinguir um do outro.

Algo que a maioria dos matemáticos da época não estava preparada para aceitar.

Dois teoremas que mudaram tudo

Para melhor compreender o que esses dois teoremas abordam, vamos antes rever algumas definições simples e intuitivas, que são necessárias para entender a natureza dos teoremas que serão apresentados em seguida.

Primeiro, um sistema matemático é um conjunto de elementos básicos (como números), algumas relações e/ou operações entre esses elementos (como adição, multiplicação) e, alguns axiomas, ou seja, declarações sobre os elementos e as operações que podem ser assumidas como sendo “verdadeiras” sem uma necessidade de prova anterior. Apenas como exemplo, o fato de que a igualdade na aritmética comum pode ser simétrica, isto é, se , então .

Em segundo lugar, diz-se que um sistema matemático é dito “completo” se for possível “provar” toda afirmação verdadeira dentro dele.

E, por fim, em terceiro lugar, um sistema matemático é chamado “consistente” se não for possível provar o oposto de uma afirmação já provada.

Por exemplo, ao demonstrar que a soma de dois números naturais ímpares é sempre par, não deve ser possível demonstrar que essa soma pode não ser par.

Caso contrário, o sistema matemático se contradiz constantemente, já que toda afirmação verdadeira seria simultaneamente falsa. Sobre isso, sugiro a leitura sobre “O Princípio da Explosão”.

Por enquanto, isso é tudo que alguém precisa para começar a compreender a ideia por trás do esforços realizados por Gödel.

Agora estamos prontos para mergulhar nos dois teoremas.

Gödel mostrou, com precisão cirúrgica que:

💡

Primeiro Teorema da Incompletude: Todo sistema matemático expressivo o suficiente para descrever computação é incompleto ou inconsistente.

Segundo Teorema da Incompletude: Se for consistente, não pode provar a própria consistência.

Em outras palavras, ou o sistema deixa verdades sem prova, ou se contradiz. Como ninguém quer inconsistência, resta aceitar a incompletude.

Mas nem isso conseguimos provar, porque o segundo teorema nos priva dessa possibilidade.

Ou seja, existem verdades matemáticas (e, por extensão, do universo) que jamais descobriremos.

Veja bem, o que acabamos de admitir é que existem algumas verdades fundamentais e profundas sobre a matemática e o conhecimento, de modo geral, que nunca seremos capazes de descobrir.

A realidade não é “logicamente incompleta”. Nós simplesmente ainda não temos as ferramentas certas para compreendê-la em sua plenitude.

Não é uma questão de inteligência ou de habilidade matemática. Simplesmente não é possível (ainda).

Uma sugestão bastante comum de alguém que ouve essa revelação pela primeira vez é acrescentar as afirmações “não demonstráveis” como axiomas nos sistemas.

Entretanto, isso não adianta, não por ignorância, mas porque as ferramentas não alcançam. E acrescentar axiomas não adianta, o novo sistema herdará a mesma sina dos dois teoremas.

Não há como escapar.

Filosofia Godeliana

As implicações filosóficas dos teoremas são enormes.

E ao que se sabe, não há outro teorema na matemática que possa se igualar à comoção causada pelo trabalho de Gödel quando foi publicado pela primeira vez.

Matemáticos que haviam se dedicado durante toda a vida em busca de uma prova para certas afirmações matemáticas, agora se deparavam com a possibilidade de que todo seu trabalho possa ter sido em vão.

Uma pergunta constantemente surgia na mente de cada matemático ao se deparar com um novo problema, “e se ele não puder ser provado?”

De fato, Gödel passou a ser considerado por muitas pessoas como um dos maiores lógicos que já existiram e foi descrito como o mais importante filósofo desde Aristóteles.

No entanto, o processo do pensamento e da filosofia de Gödel era muito mais complexo do que se pode deduzir apenas por suas conquistas matemáticas.

Ele era um platônico e racionalista convicto, crente em um mundo abstrato de formas perfeitas, tão real quanto planetas e elétrons.

Para ele, verdades matemáticas eram descobertas, não invenções.

💡

A matemática é uma descoberta ou uma invenção?

Conforme evidenciado pelo livro de Hao Wang, “A logical Journey: from Gödel to Philosophy”, em 1960, Gödel elaborou uma lista com quatorze pontos filosóficos nos quais acreditava.

Hoje conhecida como demonstração ontológica de Gôdel, um argumento formal para demonstrar a existência de Deus, essa linha de pensamento remonta a Anselmo de Cantuária (1033–1109).

O argumento ontológico de São Anselmo, em sua forma mais sucinta, pode ser expresso da seguinte maneira:

“Deus, por definição, é aquele para quem nada maior pode ser concebido. Deus existe no entendimento. Se Deus existe no entendimento, poderíamos conceber um ser maior ainda, que exista na realidade. Portanto, Deus necessariamente existe.”

Foto: São Anselmo em um vitral inglês do século XIX.

Uma versão mais elaborada desse argumento foi desenvolvida por Gottfried Leibniz (1646–1716), cuja formulação é a que Kurt Gödel estudou e procurou esclarecer por meio de seu próprio argumento ontológico.

Foto: Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716), retrato por Bernhard Rode, c. 1760, exposto no Herzog Anton Ulrich-Museum, Braunschweig.

Desses estudos, Gödel destacou quatorze pontos fundamentais de sua crença filosófica em seus escritos.

Não examinaremos cada um desses pontos neste artigo.

Em vez disso, focaremos nos que consideramos mais indicativos do seu pensamento filsófico.

A lista de crenças de Gödel não foi escrita para publicação e carrega muito de pessoal e interpretável.

Portanto, é justo afirmar que esses 14 pontos não capturam totalmente a filosofia de Gödel.

Além disso, todos os conceitos são passíveis de interpretação.

A lista completa é apresentada abaixo.

💡

O mundo é racional;

A razão humana pode, em princípio, ser desenvolvida de maneira mais elevada (por meio de certas técnicas);

Existem métodos sistemáticos para a solução de todos os problemas (incluindo da arte e outros campos);

Existem outros mundos e seres racionais de diferentes e superiores naturezas;

O mundo em que vivemos não é o único em que viveremos ou já vivemos;

Há incomensuravelmente mais conhecimento a priori do que o que atualmente se conhece;

O desenvolvimento do pensamento humano desde a Renascença é completamente compreensível;

A razão na humanidade se desenvolverá em todas as direções;

Direitos formais constituem uma ciência real;

Materialismo é falso;

Os seres superiores estão conectados aos demais por analogia, e não por composição;

Conceitos têm uma existência objetiva;

Existe uma filosofia e uma teologia científicas (exatas), que lidam com conceitos de alta abstração; e isso também é extremamente frutífero para ciência;

As religiões, na maioria das vezes, são ruins - mas a religião em si não é.

A seguir, apresentaremos algumas especulações fundamentadas que derivam da vida e do caráter de Gödel.

3. Existem métodos sistemáticos para a solução de todos os problemas (incluindo da arte e outros campos).

À primeira vista, tal afirmação parece colidir com os dois Teoremas da Incompletude que examinamos anteriormente.

Como poderia o próprio autor desses teoremas, aquele que demonstrou a existência de limites intrínsecos à matemática, sustentar que todos os problemas são solucionáveis?

Tal crença, como toda a lista a que pertence, permanece aberta à interpretação. Contudo, parece apontar para duas possibilidades.

A primeira é que Gödel admitisse a possibilidade de a matemática, de maneira inédita e extraordinária, vir a ser expandida muito além de seu estado atual.

A segunda é que ele estivesse insinuando a existência de um método superior, distinto e mais abrangente que a matemática como a conhecemos, capaz de abordar e resolver problemas de forma mais eficaz.

4. Existem outros mundos e seres racionais de diferentes e superiores naturezas.

A afirmação, em conjunto com a primeira da lista, “1. O mundo é racional”, e videncia a filosofia adotada por Gödel acerca da matemática e da realidade em geral.

Ao mencionar “mundos” e “seres racionais”, ele provavelmente não se refere a entidades de matéria concreta.

Como um platonista, Gödel sugere a existência de determinadas entidades, que habitam exclusivamente a esfera lógica e racional, não pertencendo ao mundo ilusório em que vivemos.

5. O mundo em que vivemos não é o único em que viveremos ou já vivemos -

Entre as concepções de Gödel está sua crença na reencarnação, ou “transmigração” da alma.

No meio filosófico, há um debate recorrente sobre se Platão teria sido um defensor dessa doutrina.

Um dos argumentos mais frequentemente apresentados é que, na teoria das Formas, Platão sustentava que as almas já haviam tido contato com essas Formas em vidas anteriores, o que explicaria a capacidade humana de recordá-las.

A partir daqui, as coisas se tornam mais complexas. Entre as ideias de Gödel está a sua crença na reencarnação (ou "transmigração") da alma. Existe um debate no mundo filosófico sobre a possibilidade de Platão ter sido um defensor da reencarnação. Um dos argumentos mais citados no debate é que Platão, em sua teoria das Formas, acreditava que as pessoas já tiveram contato com essas Formas em uma vida anterior e, portanto, conseguem se lembrar delas.

11. Os seres superiores estão conectados aos demais por analogia, e não por composição,

Neste ponto, Gödel expande o quarto item de sua lista, descrevendo algumas propriedades das entidades que habitam seu mundo abstrato e metafísico.

Ao afirmar que “os seres superiores estão conectados aos outros por analogia”, ele indica que o conceito de “absoluto” não se aplica a esse domínio.

Conceitos verdadeiramente abstratos são definidos em relação a outros conceitos igualmente abstratos, formando uma rede de relações analógicas.

Para ilustrar, consideremos o número “7”. Como definir essa entidade?

É importante lembrar que tratamos o número “7” como um conceito abstrato, e não como um objeto físico concreto (ilusório).

Segundo a perspectiva de Gödel, uma forma de abordá-lo é descrevendo suas propriedades relativas a outros números.

Por exemplo, “7 é maior que 3, mas menor que 9” ou “7 é a metade de 14”.

Assim como no caso dos números, Gödel sustenta que todas as entidades superiores no mundo abstrato são definidas e compreendidas por meio de analogias.

Gödel faz uso da lógica modal, que distingue entre verdade lógica necessária e verdade contingente.

Na semântica mais comum da lógica modal, consideram-se diversos "mundos possíveis".

Uma proposição é necessariamente verdadeira se for verdadeira em todos os mundos possíveis; é contingentemente verdadeira se for verdadeira em alguns, mas não em todos.

Por exemplo, a afirmação “mais da metade do planeta está coberto por água” é contingente: verdadeira em nosso mundo, mas pode ser falsa em outro mundo possível.

Por sua vez, uma afirmação é uma possibilidade lógica se for verdadeira em pelo menos um mundo possível.

Além disso, a prova recorre à lógica modal de ordem superior, pois a definição de Deus envolve quantificação explícita sobre propriedades.

Desse modo, Gödel parte dos axiomas 1 a 5 para fundamentar seu argumento:

Axioma 1: Qualquer propriedade implicada estritamente por uma propriedade positiva é também positiva.

Axioma 2: Para qualquer propriedade , ou é positiva, ou sua negação é positiva, mas não ambas simultaneamente.

Axioma 3: A propriedade de ser semelhante a Deus é positiva.

Axioma 4: Se uma propriedade é positiva, então ela é necessariamente positiva (isto é, permanece positiva em todos os mundos possíveis).

Axioma 5: A existência necessária é uma propriedade positiva.

Gödel define:

Semelhança a Deus (Definição 1): Um objeto é semelhante a Deus se e somente se possui todas as propriedades positivas como propriedades essenciais.

Essência (Definição 2): Uma propriedade é essência de se é verdadeira e implica todas as outras propriedades que possui.

Existência necessária (Definição 3): existe necessariamente se toda sua essência é necessariamente exemplificada em todos os mundos possíveis.

Com base nesses axiomas e definições, Gödel argumenta que:

Em algum mundo possível, Deus existe (Teorema 2).

A existência necessária é uma propriedade positiva (Axioma 5), e, portanto, segue-se a existência necessária de Deus em todos os mundos possíveis (Teorema 4).

A propriedade de ser semelhante a Deus é uma essência de Deus, pois ela implica todas as propriedades positivas.

Por fim, há unicidade de Deus em cada mundo possível, pela identidade dos indiscerníveis de Leibniz, embora Gödel tenha restringido seu argumento à existência, sem abordar diretamente a unicidade.

A seguir tem-se um resumo dos axiomas e teoremas principais em notação lógica:

Axioma 1:

Axioma. 2:

Teorema. 1:

Definição. 1:

Axioma. 3:

Teorema. 2:

Definição. 2:

Axioma. 4:

Teorema. 3:

Definição. 3:

Axioma. 5:

Teorema. 4:

Há um esforço em código aberto para formalizar e verificar automaticamente a prova de Gödel por meio de assistentes de prova computacionais.

Por outro lado, algumas das principais críticas à prova de Gödel focam nos seus axiomas.

Como em qualquer sistema lógico, se os axiomas forem questionados, as conclusões também podem ser contestadas.

A prova afirma que, se os axiomas forem aceitos, a conclusão é válida, não que seja necessariamente verdadeira.

Muitos filósofos criticam a falta de justificativa para esses axiomas e apontam que eles levam a resultados problemáticos.

Sobel, por exemplo, mostrou que os axiomas implicam um “colapso modal”, onde toda proposição verdadeira se torna necessariamente verdadeira.

Versões corrigidas da prova foram propostas, como a de Anderson, mas também foram questionadas. Sobel e seus críticos mantêm um debate sobre a validade do colapso modal.

Oppy criticou a prova alegando que ela “provava” a existência de muitos “quase-Deuses”, enfraquecendo sua singularidade.

Gettings refutou essa interpretação, defendendo que os axiomas não levam a esse resultado.

No geral, as críticas giram em torno da necessidade de rejeitar os axiomas para evitar conclusões indesejadas.

E, mesmo que não possam ser refutados formalmente, isso não garante sua verdade.

💡

“Vim ao Instituto apenas… para ter o privilégio de caminhar na volta pra casa com Gödel.”, Albert Einstein.

Considerações Finais

Observe que a lista de Gödel não foi feita para publicação e, portanto, é subjetiva em certo grau e provavelmente não apresenta o quadro completo da filosofia de Gödel.

Foto: Einstein e Gödel em Princeton (Fotografia: Courtesy of the IAS Archive).

Assim, não analisaremos mais nenhum dos pontos da lista, mas incentivamos fortemente o leitor a estudá-la e refletir sobre as razões que levaram um dos maiores matemáticos do mundo, descrito como o mais importante filósofo depois de Aristóteles, Kurt Gödel, a ter crenças metafísicas tão fortes.

Além disso, o fim da vida de Kurt Gödel foi marcado por um profundo isolamento e por uma batalha interna contra seus próprios medos e paranoias, que acabaram por corroer sua saúde física e emocional.

Apesar de sua mente brilhante, capaz de revolucionar a lógica e os fundamentos da matemática, Gödel não conseguiu escapar das sombras que sua própria fragilidade psicológica projetava.

A dependência de sua esposa Adele e seu temor constante, especialmente o medo de envenenamento, revelam um homem vulnerável que carregava o peso de um mundo turbulento e de uma existência permeada por angústias.

Sua morte, provocada pela recusa em alimentar-se, simboliza o colapso de um gênio consumido por suas próprias tormentas mentais.

Todavia, mesmo em meio a essa tragédia pessoal, o legado de Gödel permanece vivo e imortal, refletido no impacto duradouro de seus teoremas e na inspiração que continua a proporcionar a gerações de pensadores.